换元法求值域的具体方法
题目
换元法求值域的具体方法
答案
哎,我把你认为是另一个提很多问题的人了!现在让我给你参考参考:
首先,为什么我们要换元:是因为所求式子较复杂或是用换元法比较容易解决.
举个例子:求y=x+√(1-x)的值域,如果直接入手,有一定难度,但我们可以假设:
t=√(1-x),反解出:x=1-t^2,(注意:t≥0,"√"代表根号)
所以原式等价于:y=1-t^2+t=-t^2+t+1(二次函数是我们所熟悉的),其值域为:
(-∞,5/4].
任何数学变换都要遵循一个原则(理):等价变换.
为什么等价:以y=x+√(1-x)为例,原式x的取值范围为:x≤1;
它是受√(1-x)所约束的,说简单点,x 的值是由√(1-x)≥0解得的,但是我们没有必要求出x的值,因为我们的目的是要求值域,而不是定义域.这样t=√(1-x)
t≥0与解得的x≤1是一个意思(t≥0等价于x≤1),接下来只需要用字母t的式子去代替用x表示的式子,原来的根号就消失了,式子变得简单了.
那为什么值又没有扩大或是缩小呢:
既然定义域都没有变,那值域怎么会变呢,我们只是用t去等量代替√(1-x),从而避免根号这个“障眼法”,而使问题变得简洁.(换元法的最终目的是使复杂式子简单化,也就是更容易看懂)
(重点参考:等价变换实际上是定义域不变的代换,定义不变,值也就不变.换元法求值域就好比你要从A地到B地,但是路有很多条,但是只有一条比较好走,而你选择的就是那一条好走的路,殊途同归,实际都能到达)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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