求曲线x^2-3xy-3y^2=1到原点的距离的平方的最小值

题目

求曲线x^2-3xy-3y^2=1到原点的距离的平方的最小值

答案

曲线x² - 3xy - 3y² = 1 到原点(0,0)的距离的平方的最小值
利用高等数学中的条件导数求,
f(x,y) = x² + y² + λ(x² - 3xy - 3y² - 1)
f'x(x,y) = 2x + λ(2x - 3y) = 0 ①
f'y(x,y) = 2y + λ(-3x - 6y) = 0 ②
x² - 3xy - 3y² = 1 ③
由①、②得到两个极值点：y/x = -1/3或者3,代入③,x = ±√(3/5) y =负正号√(1/15)
距离的平方的最小值 x² + y² = 3/5 + 1/ 15 = 2/3