高数曲线积分题

题目

高数曲线积分题
设g′（x）连续,且g(1)=g(0)=0,计算：
I=∫L[2xg(y)-y]dx+[x²g′(y)-y]dy
L为抛物线y=3x²-2x (0≤x≤1)的一段

答案

利用格林公式,因为格林公式要求一个封闭的区域,所以先补上：
L1:y=1,x从1到0；
L2:x=0,y从1到0；
使得变成一个正定向的区域,然后设在L上的曲线积分为S,在L1和L2上的曲线积分分别为S1和S2,根据格林公式：
S + S1 + S2 = ∫L+L1+L2[2xg(y)-y]dx+[x²g′(y)-y]dy
= 二重积分( [x²g′(y)-y]对x求导 - [2xg(y)-y]对y求导 )dxdy
= 二重积分( 2xg′(y) - [2xg('y)-1] )dxdy
= 二重积分(1) dxdy
= 积分[0,1] 积分[3x²-2x,1] (1) dydx
= 积分[0,1] (1-3x²+2x) dx
= 1
而在L1上,y=1,dy=0,所以：
S1 = 积分[1,0] (-1) dx = 1
在L2上,x=0,dx=0,所以：
S2 = 积分[1,0](-y)dy=1/2
综上,S = 1 - S1 -S2 = -1/2.
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