如图,已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN垂直于DM且交角CBE的平分线于N.

题目

如图,已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN垂直于DM且交角CBE的平分线于N.
(1)试说明MD=MN.
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改成“M是AB上的任意一点”,其余条件不变,则结论“MD=MN”成立吗?若成立,请证明；若不成立,请说明理由.

答案

（1）在AD上截取AK=AM,则K为AD中点,连接KM,下面证明三角形KMD和BNM是全等的：
角BMN+角AMD=90度,角BMN+角ADM=90度,故角BMN=角ADM；角DKM=180-45=135；
角MBN=180-45=135,故DKM=MBN,且DK=MB,所以KMD和BNM是全等的,故DM=MN.
（2）结论依然成立：同样在AD上截取AK=AM,同样连接KM,同样证明KMD和BNM全等的；
角BMN=角ADM,DK=MB,角DKM=180-45=135,角MBN=180-45=135,故角DKM=角MBN,
所以KMD和BNM是全等的,故DM=MN.