在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP=3PC，Q是CD得中点． （1）证明△ADQ∽△QCP；（2）求证：AQ⊥QP．

题目

在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP=3PC，Q是CD得中点．
（1）证明△ADQ∽△QCP；（2）求证：AQ⊥QP．

答案

（1）∵BP=3PC，Q是CD的中点
∴

CP

DQ

=

CQ

AD

=

1

2

，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，
∴△ADQ∽△QCP；

（2）∵△ADQ∽△QCP，
∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，
∴∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD=90°，
∴AQ⊥QP．