直角三角形面积与周长的数值相等,则该三角形的面积的最小值

题目

直角三角形面积与周长的数值相等,则该三角形的面积的最小值

答案

设直角边是a,b,斜边是c
那么a^2+b^2=c^2
直角三角形的面积=1/2ab
直角三角形的周长=a+b+c
那么1/2ab=a+b+c
我们知道a+b>=2根号(ab)
c^2=a^2+b^2>=2ab
所以c>=根号(2ab)
所以1/2ab=a+b+c>=2根号(ab)+根号（2ab)=(2+根号2）根号ab
左右消掉根号(ab)
1/2根号ab>=2+根号2
两边平方
1/4ab>=(2+根号2）^2=6+4根号2
所以1/2ab>=12+8根号2
三角形的面积等于1/2ab
所以三角形的面积的最小值等于12+8根号2