若函数f（x）的定义域为N+，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，求f（x）的表达式．

题目

若函数f（x）的定义域为N⁺，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，求f（x）的表达式．

答案

∵f（x）的定义域为N⁺，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+1×1=1+1+1=3，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+1×2=3+1+2=6，
f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+1×3=6+1+3=10，
f（5）=f（4+1）=f（4）+f（1）+1×4=10+1+4=15，
f（6）=f（5+1）=f（5）+f（1）+1×5=15+1+5=21，
，…，
∴f（x）=1+2+3+…+x=

x(x+1)

2

x∈N⁺；