已知函数f(x)=ax3-x2+bx+2(a,b∈R)在区间(-∞,0)及(4,+∞)上都是增函数,在区间(0,4)上是减函数. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程.
题目
已知函数f(x)=ax3-x2+bx+2(a,b∈R)在区间(-∞,0)及(4,+∞)上都是增函数,在区间(0,4)上是减函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程.
答案
(I)∵f'(x)=3ax
2-2x+b,
又f(x)在区间(-∞,0)及(4,+∞)上都是增函数,在区间(0,4)上是减函数,
∴f'(0)=0,b=0.
又
f′(4)=0,a=.(II)∵
f(x)=x3−x2+2,得f′(x)=x2−2x.当x=1时,
f′(1)=−.此时
y=f(1)=.即切线的斜率为-
,切点坐标为(1,
).
所求切线方程为9x+6y-16=0.
(Ⅰ)根据题意知函数f(x)=ax
3-x
2+bx+2(a,b∈R)在区间(-∞,0)及(4,+∞)上都是增函数,在区间(0,4)上是减函数.所以0和4为函数的驻点,即f′(0)=0,f′(4)=0得到a与b;
(Ⅱ)求出f′(x)在x=1时的函数值f′(1)而f(1)=
得到切点坐标,写出切线方程化简即可.
利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考查学生利用导数研究函数的单调性能力,以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力.
举一反三
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