已知函数f(x)=x2ln|x|, (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若关于x的方程f(x)=kx-1在(0,+∞)上有实数解,求实数k的取值范围.
题目
已知函数f(x)=x2ln|x|,
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若关于x的方程f(x)=kx-1在(0,+∞)上有实数解,求实数k的取值范围.
答案
(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
∵f(-x)=(-x)
2ln|-x|=x
2ln|x|=f(x),∴函数f(x)为偶函数.
(2)当x>0时,f(x)=x
2lnx.
∴
f′(x)=2xlnx+x2×=2x
(lnx+),
令f
′(x)=0,解得
x=e−.
若
0<x<e−,则f
′(x)<0,函数f(x)单调递减;
若
x>e−,则f
′(x)>0,函数f(x)单调递增.
再由函数f(x)是偶函数,当x<0时的单调性如下:
函数f(x)的单调递增区间是
(−e−,0);单调递减区间是
(−∞,e−).
综上可知:函数f(x)的单调递增区间是
(−e−,0),
(e−,+∞);
单调递减区间是
(0,e−),
(−∞,e−).
(3)由f(x)=kx-1,得
xln|x|+=k,
令g(x)=
xln|x|+.
当x>0时,g
′(x)=
lnx+1−=
lnx+,可知g
′(1)=0.
当0<x<1时,g
′(x)<0,函数g(x)单调递减;
当x>1时,g
′(x)>0,函数g(x)单调递增.
∴当x>0时,g(x)
min=g(1)=1.
因此关于x的方程f(x)=kx-1在(0,+∞)上有实数解的k的取值范围是[1,+∞).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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