已知，M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD=BF，CD=CE，求证：AE=AF．

题目

已知，M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD=BF，CD=CE，求证：AE=AF．

答案

证明：如图，设MD、ME、MF分别交BC，AC，AB于P，Q，R．连接MA，MB，MC．
∵MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，
∴由勾股定理MB²=MP²+BP²=MR²+BR²①
BD²=MP²+PD²=BF²=BR²+FR²②
CM²=CP²++MP²=CQ²+MQ²③
CD²=PD²+PC²=CF²=CQ²+QF²④
MA²=MQ²+AQ²=AR²+MR²⑤
由①②③④⑤可得
AQ²+MQ²=AR²+FR²，即AE²=AF²．
∴AE=AF．