已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是_．

题目

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=3，则xyz的最大值是______．

答案

∵x+y+z=1①，x²+y²+z²=3②
∴①²-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z²-z-1
∵x²+y²=3-z²≥2xy=2（z²-z-1）⇒3z²-2z-5≤0⇒-1≤z≤

5

3

令f（z）=xyz=z³-z²-z，则f′（z）=3z²-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜−

1

3

，
∴f（z）在区间[-1，-

1

3

]单调递增，在[-

1

3

，1]单调递减，在[1，

5

3

]单调递增，
当z=-

1

3

时，xyz的值为

5

27

，当z=

5

3

时，xyz的值为

5

27

，
∴xyz的最大值为

5

27

．
故答案为：

5

27

．