已知数列{an}及fn(x)=a1x+a2x²+…+anx^n,fn(-1)=[(-1)^n]*n

题目

已知数列{an}及fn(x)=a1x+a2x²+…+anx^n,fn(-1)=[(-1)^n]*n
若[（1/2)^n]an≤(m/4)²+(3m/2)-1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围

答案

设b[n]=(-1)^n*a[n],T[n]是{b[n]}的前n项和. [ ]内是下标
由已知得 T[n]=fn(-1)=(-1)^n*n 可求得 b[n]=(-1)^n*(2n-1)
所以 a[n]=2n-1
设c[n]=(1/2)^n*a[n]=(1/2)^n*(2n-1) 则c[n]>0
c[1]=1/2,c{2]=3/4 即c[2]>c[1]
当n>1时 c[n+1]/c[n]=...=(2n+1)/(2n+(2n-2))