V是数域P上n维线性空间,A和B是V上线性变换A^2=0,B^2=0,AB+BA=E,证明V只能是偶数维

题目

V是数域P上n维线性空间,A和B是V上线性变换A^2=0,B^2=0,AB+BA=E,证明V只能是偶数维

答案

AB+BA=E
左乘A
AAB+ABA=A
又AA=0
则ABA=A
同理BAB=B
Aa=ABAa Aa为AB特征值1的特征向量
Ba=0ABBa Ba为AB特征值0的特征向量
即对任意a,Aa不等于Ba
则r（A）+r（B）小于等于n
又AB+BA=E
则r（A）+r（B）大于等于n
r（A）+r（B）等于n
若r（A）则应有b=Bb 与B^2=0矛盾
则r（A）=r（B）=n/2
证毕
举个例子n=2
A（a,b）=(0,a)
B（a,b）=(b,0)
AA=BB=0
AB+BA=E