设函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1). (1)求f(x)的极小值; (2)若x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,求实数a的取值范围.

设函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1). (1)求f(x)的极小值; (2)若x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,求实数a的取值范围.

题目
设函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1).
(1)求f(x)的极小值;
(2)若x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=2ln(2x+1)+2,
f(x)=0,
∴x=
1
2
(
1
e
−1)

当x∈(
1
2
(
1
e
−1), +∞)
,f(x)>0
当x∈(−
1
2
,(
1
2
(
1
e
−1))
,f(x)<0
∴函数的极小值是f(
1
2
(
1
e
−1)
+=-
1
e

(2)x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,
令g(x)=(2x+1)ln(2x+1)-2ax
g(x)=2[ln(2x+1)+1-a]=0,x=
1
2
ea−1−1

当a≤1,a-1≤0,
1
2
ea−1−1≤0

g(x)≥0恒成立,
∴g(x)在[0,+∞)上单增,
∴g(x)≥g(0)=0成立,对于x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,
当a>1时,a-1>0,
1
2
(ea−1−1)>0

当x∈[0,
1
2
(ea−1−1))
,g(x)<0恒成立,
又g(0)=0,∴当x∈[0,
1
2
(ea−1−1))
时,g(x)≤g(0)=0成立,
即当a>1时,不是所有的x≥0都有f(x)≥2ax,
综上可知a≤1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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