设函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）． （1）求f（x）的极小值； （2）若x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，求实数a的取值范围．

题目

设函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（1）求f（x）的极小值；
（2）若x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵f^′（x）=2ln（2x+1）+2，
f^′（x）=0，
∴x=

1

2

(

1

e

−1)
当x∈(

1

2

(

1

e

−1)， +∞)，f^′（x）＞0
当x∈(−

1

2

，(

1

2

(

1

e

−1))，f^′（x）＜0
∴函数的极小值是f（

1

2

(

1

e

−1)+=-

1

e

（2）x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax
g^′（x）=2[ln（2x+1）+1-a]=0，x=

1

2

ea−1−1
当a≤1，a-1≤0，

1

2

ea−1−1≤0
g^′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上单增，
∴g（x）≥g（0）=0成立，对于x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
当a＞1时，a-1＞0，

1

2

(ea−1−1)＞0
当x∈[0，

1

2

(ea−1−1))，g^′（x）＜0恒成立，
又g（0）=0，∴当x∈[0，

1

2

(ea−1−1))时，g（x）≤g（0）=0成立，
即当a＞1时，不是所有的x≥0都有f（x）≥2ax，
综上可知a≤1．