设函数f（x）=ax^3+bx^2+cx+d (a≠0)为奇函数,其图象过在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f’(x)的最小值为-12

题目

设函数f（x）=ax^3+bx^2+cx+d (a≠0)为奇函数,其图象过在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f’(x)的最小值为-12
1)求f(x)的解析式.
2)求函数单调增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最小值和最大值

答案

因为为奇函数,所以f(0)=0
得d=0,又f(-x)=-f(x)
得2bx^2+2d=0得b=0,
所以f(x)=ax^3+cx
又过点(1,f(1))即(1,a+c)
此处的切线斜率f'(1)=3a+c
切线为y-(a+c)=(3a+c)(x-1)与直线x-6y-7=0垂直 斜率之积等于-1
即(3a+c)*1/6=-1
得3a+c=-6
又函数f'(x)=3ax^2+c的最小值为-12 (因为x>=0)
所以f'(x)=3ax^2+c>=c=-12
得出a=2 b=0 c=-12 d=0
f(x)=2x^3-12x