一道数列题,考试是我写的答案是20

题目

一道数列题,考试是我写的答案是20
已知正项数列{an}满足an^2+2an+2[a(n-1)]-a(n-1)^2=0,a1=8则使其前n项和sn≤k恒成立的整数k的最小值为?
其中a(n-1),小括号里的是脚标.
考试时我写的是20,

答案

an²+2an+2a(n-1)-a(n-1)²=0
[(an²+2an+1)-1]-{[a(n-1)²-2a(n-1)+1]-1}=0
(an+1)²-[a(n-1)-1]²=0
[an+1+a(n-1)-1][an+1-a(n-1)+1]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)+2]=0
∴an=-a(n-1) （{an}是正项数列,所以舍去）
an=a(n-1)-2
∴an-a(n-1)=-2
∵a1=8
∴数列是以8为首项,公差为 -2的等差数列,通项公式为：an=8-2(n-1)=-2n+10
∵{an}是正项数列
∴n＜5 即数列的通项公式为：an=-2n+10 （n＜5）
前n项和为前4项和：Sn=8+6+4+2=20
∴使数列前n项和sn≤k恒成立的整数k的最小值为20
你写的答案是20,是对的!恭喜