如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO=∠D； （2）若CD=42，AE=2，求⊙O的半径．

题目

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． 

（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=4

2

，AE=2，求⊙O的半径．

答案

（1）证明：如图．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B．
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

×4

2

=2

2

，
在Rt△OCE中，OC²=CE²+OE²，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2，
∴r²=（2

2

）²+（r-2）²，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．

（1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA-AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．

本题考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．

考点点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．