函数极限的局部有界性定理

题目

函数极限的局部有界性定理

我想问,这个标准证明为什么没有像数列极限有界性一样要考虑n≦N的情况在这里即|x|≦X的情况,就像：取M=max{ f(x)[x∈(-X,X)] ,1+|A| },则有|f(x)|≦M.
应该是取M=max{ f(x) (x∈[-X,X]) 1+|A| }

答案

因为数列在n≦N部分只有有限个数,并且数列的每一项数都必须是非无穷大的实数.
但是函数在|x|≦X有无限个x的取值个数,并且|x|≦X的部分有可能有极限是无穷大是.
例如函数1/（x-1）,当x→无穷大的时候,函数的极限是0,存在.但是x趋近于1的时候,函数值趋近于无穷大,所以对于函数1/（x-1）,不是全定义域都有界,只是当x的绝对值很大的时候,是有界的.
但是将函数1/（x-1）转换为1/（n-1）却不能形成数列,因为第一项为无穷大,这样的数列是不行的.
就算是1/（x-1.4）,在x趋近于1.4的时候,函数无界,但是对数列1/（n-1.4）,没有第1.4项,所以这个对函数无界的值,在数列中不会被取到.