定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当2≤x≤6时,f(x)=(1/2)|x-m| +n,f(4)=31

题目

定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当2≤x≤6时,f(x)=(1/2)|x-m| +n,f(4)=31
（1）求m,n的值
（2）比较f（log3m）与f（log3n）的大小

答案

(1)因为f(4)=31,所以f(4)=(1/2)|4-m| +n=31
因为f(x+4)=f(x),所以f(2)=f(6),即(1/2)|2-m| +n=(1/2)|6-m| +n
解得m=4,n=31
(2)log3 m=log3 4大于1小于2,log3 n=log3 31大于3小于4
所以5f（log3 m）=f（log3 4）=f(log3 4 +4)=(1/2)|log3 4 +4-4| +31=(1/2)log3 4 +31=log3 2 +31
f（log3 n）=f（log3 31）=(1/2)|log3 31 -4| +31=4-log3 31 +31=log3 81-log3 31 +31=log3 (81/31) +31
显然log3 (81/31)>log3 2
所以f（log3 n）>f（log3 m）