设二次函数f[x]满足f[x+2]=f[2-x],且f[x]=0的两个实根的平方和为10,且f[x]的图像过点【0,3】,求f[x]的解

题目

设二次函数f[x]满足f[x+2]=f[2-x],且f[x]=0的两个实根的平方和为10,且f[x]的图像过点【0,3】,求f[x]的解
怎样得到对称轴为x=2,有什么用

答案

如果二次函数f[x]满足f[a]=f[b],
那么,对称轴为x＝(a+b)/2
所以,对称轴为x=2
设函数为f[x]=ax^2+bx+c
f[x]的图像过点【0,3】,所以c＝3
设两个实根为x1,x2
则,x1＋x2＝－b/a,x1x2＝c/a
对称轴为x=2
则,x1＋x2＝4,
两个实根的平方和为10
则,（x1＋x2）^2－2x1x2＝10
即,x1x2＝3
代入得
b/a＝-4
c/a=3
c=3
解得,a＝1,b＝-4
所以,f[x]=x^2－4x＋3