已知实数x,y满足条件y=x^2,求log2(4^x+4^y)的取值范围

题目

已知实数x,y满足条件y=x^2,求log2(4^x+4^y)的取值范围

答案

∵4^x>0 ,4^y>0
∴4^x+4^y>=2(4^x * 4^y)^(1/2)=2*2^(x+y)=2^(x^2 +x+1)=2^[(x+0.5)^2 +0.75]>=2^(3/4)
第一个等号成立的条件是x=y；第二个等号成立的条件是x=-1/2
∵y=x^2 >=0,∴上述过程中两个等号不能同时成立
∴4^x+4^y>2^(3/4)
又log2(t)关于t在(0,+∞)上是单调增函数
∴log2(4^x+4^y)>log2[2^(3/4)]=3/4
即log2(4^x+4^y)的取值范围是(3/4,+∞)