证明：方程x=asinx+b(a>0,b>0至少有一个正根,且它不超过a+b

题目

证明：方程x=asinx+b(a>0,b>0至少有一个正根,且它不超过a+b
这是高数里面有关极限和函数连续性的题,所以希望高手用这方面的知识解答.

答案

证明：设f(x)=asinx+b-x,a>0,b>0.
f(x)在R上连续,f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)=asin(a+b)-a=<0
而且对任意的x>a+b,f(x)=asinx+b-x若f(a+b)=0,则a+b即为方程x=asinx+b的一个正根,
若f(a+b)<0,则存在ξ∈(0,a+b),使得f(ξ)=0,即ξ为方程的一个正根.
所以方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且它不超过a+b.