1的平方加2的平方加3的平方直到n的平方

题目

1的平方加2的平方加3的平方直到n的平方

答案

由1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.