圆经过P(2,-1),与直线x-y=1相切,圆心在y=-2x上,求圆的方程.

题目

圆经过P(2,-1),与直线x-y=1相切,圆心在y=-2x上,求圆的方程.

答案

圆心在y=-2x上
设圆心O(a.-2a) 半径为r 则圆的方程为(x-a)^2 + (y+2a)^2 =r^2
O点到直线x-y=1的距离为r ,即
(3a-1)^2 /2 = r^2.(1)
又PO = r ,有
(a-2)^2 + (-2a+1)^2 = r^2.(2)
由（1）,（2）得
(3a-1)^2 /2 = (a-2)^2 + (-2a+1)^2
化简为a^2 -10a + 9 = 0
解得 a=1或9
a=1时r^2 = 2 圆的方程为(x-1)^2 + (y+2)^2 =2
a=9时 r^2 = 338 圆的方程为(x-9)^2 + (y+18)^2 =338