若锐角a,b,c满足（cosa）^2+（cosb）^2+（cosc）^2=1,那么tana×tanb×tanc的最小值为

题目

若锐角a,b,c满足（cosa）^2+（cosb）^2+（cosc）^2=1,那么tana×tanb×tanc的最小值为

答案

答：
锐角a、b、c：正弦和余弦都是正数
（cosa）^2+（cosb）^2+（cosc）^2=1
转化为：
cos²a/(sin²a+cos²a)+cos²b/(sin²b+cos²b)+cos²c/(sin²c+cos²c)=1
1/(tan²a+1)+1/(tan²b+1)+1/(tan²c+1)=1>=3 / ³√[(tan²a+1)(tan²b+1)(tan²c+1)]
所以：
(tan²a+1)(tan²b+1)(tan²c+1)>=27
所以：
(tan²a+1)(tan²b+1)(tan²c+1)>=2tana×2tanb×2tanc>=27
所以：
tana×tanb×tanc最小值为27/8