设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数.

题目

设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数.

答案

证明：因为f(-x)=f(x)=f(x^2),所以f为偶函数,只需证明x>=0时f(x)为常数即可设x>0且不为1,则f(x)=f(根号x)=f(x^(1/4))=……=f(x^(1/2^n))当n充分大时,f(x)可任意接近lim(x→1)f(x)因f(x)在x=1处连续,所以f(x)=lim(x→...