试证明：1²+2²+3²+……+N²=1/6N（N+1)（2N+1)

题目

试证明：1²+2²+3²+……+N²=1/6N（N+1)（2N+1)

答案

（n+1）³-n³=3n²+3n+1
故
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
（n+1）³-n³=3n²+3n+1
由等式的叠加性可知,左边相加=右边相加,即
（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+……+n²）+3（1+2+3+……+n）+n
n³+3n²+3n+1-1=3（1²+2²+3²+……+n²）+3×1/2n（n+1）+n
3（1²+2²+3²+……+n²）=n³+3n²+3n-1.5n²-2.5n=n³+1.5n²+0.5n=1/2n×（2n²+3n+1）
=1/2n（n+1）（2n+1）
故1²+2²+3²+……+n²=1/6n（n+1）（2n+1）