如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是AC上一点，CF⊥BD于点F，AE⊥BD交BD的延长线于E．求证：EF=BE-AE．

题目

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是AC上一点，CF⊥BD于点F，AE⊥BD交BD的延长线于E．求证：EF=BE-AE．

答案

证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在三角形ABE和BCF中，

∠AEB＝∠CFB ∠BAE＝∠CBF AB＝AC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴CF=BE，AE=BF，
∴EF=BE-AE．

利用已知条件易证△ABE≌△BCF，所以CF=BE，AE=BF，进而可证明EF=BE-AE．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．