在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且3a-2csinA=0. (Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)若c=2,求a+b的最大值.
题目
在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且
a-2csinA=0.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若c=2,求a+b的最大值.
答案
(Ⅰ)由
a-2csinA=0,及正弦定理,得
sinA-2sinCsinA=0,
∵sinA≠0,
∴sinC=
,
∵△ABC是锐角三角形,
∴C=
;
(Ⅱ)∵c=2,C=
,∴由余弦定理得:a
2+b
2-2abcos
=4,即a
2+b
2-ab=4,
∴(a+b)
2=4+3ab≤4+3•(
)
2,即(a+b)
2≤16,
∴a+b≤4,当且仅当a=b=2取“=”,
则a+b的最大值是4.
(Ⅰ)利用正弦定理化简已知的等式,根据sinA不为0求出sinC的值,由三角形为锐角三角形,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数;
(Ⅱ)由c与cosC的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,利用基本不等式即可求出a+b的最大值.
余弦定理;正弦定理.
此题考查了正弦、余弦定理,基本不等式的运用,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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