抛物线C的顶点在原点,焦点F与双曲线x23−y26=1的右焦点重合,过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求弦长|AB|; (2)试判断以弦AB为直径的圆与抛物线准线的位

抛物线C的顶点在原点,焦点F与双曲线x23−y26=1的右焦点重合,过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求弦长|AB|; (2)试判断以弦AB为直径的圆与抛物线准线的位

题目
抛物线C的顶点在原点,焦点F与双曲线
x2
3
y2
6
=1
的右焦点重合,过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点.
(1)求弦长|AB|;   (2)试判断以弦AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系.
答案
(1)双曲线右焦点为F(3,0),
它也是抛物线的焦点.
∴抛物线方程为y2=12x.…(2分)
又直线l的方程为y=x-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
y=x−2
y2=12x

得x2-16x+4=0…(4分)
∴弦长|AB|=
(1+1)(162−4×4)
=4
30
.…(6分)
(2)弦中点坐标为x
x1+x2
2
8
 
 
 
 
yx−2=6
,…(8分)
∴以AB为直径的圆的圆心为(8,6),
半径r=2
30

又准线为x=-3,
∴圆心到准线的距离d=8+3=11>2
30
=r

∴圆与抛物线准线相离.…(12分)
(1)双曲线右焦点为F(3,0),它也是抛物线的焦点.所以抛物线方程为y2=12x.由直线l的方程为y=x-2,由此能求出弦长|AB|.
(2)弦中点坐标为x
x1+x2
2
8
 
 
 
 
yx−2=6
,所以以AB为直径的圆的圆心为(8,6),半径r=2
30
,又准线为x=-3.由此能得到圆与抛物线准线相离.

直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的共同特征.

本题主要考查圆锥曲线标准方程,简单几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.

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