将下列函数在指定点展开成幂级数,并确定它们的收敛范围（1+x)In(1+x),x0=0；(x-1)/(x+1),x0=1

题目

将下列函数在指定点展开成幂级数,并确定它们的收敛范围（1+x)In(1+x),x0=0；(x-1)/(x+1),x0=1
(x-1)/(x+1),还有一道题：x/(2-x-x^2),x0=0,帮我算下，

答案

1.f(x) = (1+x) ln(1+x),f '(x) = 1 + ln(1+x),
f ''(x) = 1/(1+x) = ∑ n:0->∞ (-1)^n x^n ,收敛域 (-1,1)
积分：f '(x) = ∑ n:0->∞ (-1)^n x^（n+1)/(n+1) = ∑ n:1->∞ (-1)^(n-1) x^n /n
再积分：f(x) = ∑ n:1->∞ (-1)^(n-1) x^(n+1) / [n(n+1) ] 收敛域 [-1,1]
2.(x-1)/(x+1) = (x-1) * [1/(2 + x﹣1)],
而 1/(2+u) = (1/2) / [ 1+(u/2)] = (1/2) ∑ n:0->∞ (-1/2)^n u^n 收敛域 (-2,2)
代入 u = x﹣1 即可,收敛域 (-1,3)
3.x/(2-x-x^2) = (1/3) x * [ 1/(1-x) + 1/(2+x) ]
利用 1/(1-x) = ∑ n:0->∞ x^n,1/(1+x) = ∑ n:0->∞ (-1)^n x^n
通过换元 或者 求导等方法来做.