设数列an前n项和为Sn,且Sn=2^n-1 1.求an通项公式 2.设bn=n*an求bn前n项和Tn

题目

设数列an前n项和为Sn,且Sn=2^n-1 1.求an通项公式 2.设bn=n*an求bn前n项和Tn

答案

1、
a1=S1=2^1-1=2-1=1
Sn=2^n-1
Sn-1=2^(n-1)-1
an=Sn-Sn-1=2^n-1-2^(n-1)+1=2^(n-1)
n=1时,a1=2^0=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)
2、
bn=nan=n×2^(n-1)
Tn=b1+b2+...+bn=1×2^0+2×2^1+3×2^2...+n×2^(n-1)
2Tn=1×2^1+2×2^2+3×2^3+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n
-Tn=Tn-2Tn=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)-n×2^n=(2^n-1)/(2-1)-n×2^n=(1-n)2^n-1
Tn=(n-1)2^n+1