如何证明向量组和它的极大无关组等价?

题目

如何证明向量组和它的极大无关组等价?
极大无关组可以由向量组线性表出,反过来呢?

答案

反过来,
向量组可以由它的极大无关组线性表出：
任一向量属于向量组,
这向量或者是极大无关组中的一个向量,
或者不是极大无关组中的向量.
1)如果这向量是极大无关组中的一个向量,
则它必可由极大无关组线性表出；
2)如果这向量不是极大无关组中的向量,
则由极大无关组的定义中的第2条知,
把这个向量添到极大无关组中则组成相关组,
“(极大无关组)自身无关,添(这)个向量后
相关,则添的这个向量可用(极大)无关组表
出”.
由1)2)证毕.