（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的1/3．（2）如图2，若∠DOE保持1

题目

（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，
求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的

1

3

．
（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，
求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的

1

3

．

答案

证明：（1）如图1，连接OA，OC；
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵点O是等边三角形ABC的外心，
∴CF=CG=

1

2

AC，∠OFC=∠OGC=90°，
∴在Rt△OFC和Rt△OGC中，

CF=CG OC=OC

，
∴Rt△OFC≌Rt△OGC．
同理：Rt△OGC≌Rt△OGA．
∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，
S_{四边形OFCG}=2S_△OFC=S_△OAC，
∴S_△OAC=

1

3

S_△ABC，
∴S_{四边形OFCG}=

1

3

S_△ABC．
（2）证法一：
连接OA，OB和OC，则
△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2；
设OD交BC于点F，OE交AC于点G，
∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，
∴∠3=∠5；
在△OAG和△OCF中

∠2=∠1 OA=OC ∠3=∠5

，
∴△OAG≌△OCF，
∴S_△OAG=S_△OCF，
∴S_△OAG+S_△OGC=S_△OCF+S_△OGC，
即S_{四边形OFCG}=S_△OAC=

1

3

S_△ABC；
证法二：
设OD交BC于点F，OE交AC于点G；
作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为H、K；
在四边形HOKC中，∠OHC=∠OKC=90°，∠C=60°，
∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°，
即∠1+∠2=120度；
又∵∠GOF=∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，
∵AC=BC，
∴OH=OK，
∴△OGK≌△OFH，
∴S_{四边形OFCG}=S_{四边形OHCK}=

1

3

S_△ABC．

（1）本题要依靠辅助线的帮助．连接OA，OC，证明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S_△OAC=

1

3

S_△ABC，易证S_OFCG=

1

3

S_△ABC．
（2）本题有多种解法．连接OA，OB和OC，证明△AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之间的关系即可．

本题考点：三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定；等边三角形的性质．

考点点评：本题涉及三角形的外接圆知识及全等三角形的判定，难度偏难．