函数f（x）=ax3+（a-1）x2+（b-3）x+b的图象关于原点成中心对称，则f（x）（　　） A.有极大值和极小值 B.有极大值无极小值 C.无极大值有极小值 D.无极大值无极小值

题目

函数f（x）=ax³+（a-1）x²+（b-3）x+b的图象关于原点成中心对称，则f（x）（　　）
A. 有极大值和极小值
B. 有极大值无极小值
C. 无极大值有极小值
D. 无极大值无极小值

答案

∵函数f（x）=ax³+（a-1）x²+（b-3）x+b的图象关于原点成中心对称，∴f（x）是奇函数；
∴

a−1＝0 b＝0

，即

a＝1 b＝0

，∴f（x）=x³-3x（其中x∈R）；
∴f′（x）=3x²-1，令f′（x）=0，得x=±

3

3

，
∴f（x）、f′（x）随x的变化情况如下表：

∴f（x）在定义域上有极大值和极小值．
故选：A．

由f（x）的图象关于原点成中心对称，知f（x）是奇函数，得a、b的值；利用导数判定f（x）在其定义域上的增减情况．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题考查了利用函数的导数来判定函数的增减性，求函数极值的知识，是中档题．