证明x^3×f(x^2)在【0,a】上的定积分等于二分之一倍的x×f(x)在【0,a^2】上的定

题目

证明x^3×f(x^2)在【0,a】上的定积分等于二分之一倍的x×f(x)在【0,a^2】上的定
分

答案

令x²=t,则xdx=(1/2)dt,当x=0时,t=0；∵a>0,故当x=a时,t=a²(0→a)∫x³f(x²)dx=(0→a)∫x²f(x²)xdx=(0→a²)∫tf(t)(1/2)dt=(0→a²)(1/2)∫tf(t)dt=(0→a²)(1/2)∫xf(x)d...