一道关于数论的证明题

题目

一道关于数论的证明题
证明sqrt{1/(11…1(n-1个1)22…2(n个2)5)}为有理数

答案

只需要证明分母是平方数
设式中分母是N则
9N＝9{11…1(n-1个1)22…2(n个2)5}
＝9{1...1(2n个1）+10*（1.1(n个1)+4}
=(10^2n -1)+10(10^n-1)+36
=10^2n+10*10^n+25
=(10^n+5)^2
所以N是平方数,原数是有理数