一道数论证明题

题目

一道数论证明题
证明:如果 n = 4k + 1 或者 n = 4k + 2,k是整数,那么等式 4x^2 − y^2 = n 没有整数解.

答案

对n进行mod4分类
当y=2t时（偶数）;
4x^2-y^2=4(x^2-t^2)=n
说明n≡0 (mod4)
当y=2t+1时（奇数）
4x^2-y^2=4x^2-4t^2-4t-1=4(x^2-t^2-1)+3
说明n≡3 (mod4)
而条件中n=4k+1或n=4k+2,即n≡1 (mod4)或n≡2 (mod4)
因此原方程没有整数解