在抛物线y=-x2+1上求一点p(x1,y1),使过该点P的抛物线的切线与抛物线及两坐标轴所围图形的面积最小

题目

在抛物线y=-x2+1上求一点p(x1,y1),使过该点P的抛物线的切线与抛物线及两坐标轴所围图形的面积最小
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答案

设过p(a,b)的切线方程为 y-b=K(x-a)
　　对抛物线求导
　　y'=-2x
　　y-b=-2a(x-a)
　　当X＝0时,y=2a^2+b
　　当y=0时,x=a+b/(2*a)
　　切线与xy 轴围成的面积S＝（2a^2+b)*(a+b/(2a))/2
　　b=-a^2+1
　　代入
　　S＝（a^2+1)^2/4a
　　抛物线与X轴交于（1,0）
　　所以其面积为0到1 的积分
大小为2/3
所以PS＝（a^2+1)^2/2a/2-2/3
对其求极值
令Ps'=0,则a=根号3/3
则b=2/3
所以P（√3/3,2/3) 最小面积为：（4√3－6）/9