求曲线y=x2与直线y=x,y=2x所围成的图形的面积.

求曲线y=x2与直线y=x,y=2x所围成的图形的面积.

题目
求曲线y=x2与直线y=x,y=2x所围成的图形的面积.
答案
y=x2
y=x
得交点坐标(0,0),(1,1),
y=x2
y=2x
得交点坐标(0,0),(2,4),…(2分)
∴所求面积S为S=
1
0
(2x−x)dx+
2
1
(2x−x2)dx
…(6分)
=
1
0
xdx+
2
1
(2x−x2)dx
=
x2
2
|
1
0
+(x2
x3
3
)
|
2
1
=
7
6
…(10分)
先联立方程,组成方程组,求得交点坐标,可得被积区间,再用定积分表示出曲线y=x2与直线y=x,y=2x所围成图形的面积,即可求得结论.

定积分在求面积中的应用.

利用定积分求面积,解题的关键是确定被积区间及被积函数.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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