随机变量分布函数Fx(x)=﹛1-X^-λ,x>1.时0,x0) ,Y=lnX,求Y的概率密度fy(y)

题目

随机变量分布函数Fx(x)=﹛1-X^-λ,x>1.时0,x0) ,Y=lnX,求Y的概率密度fy(y)

答案

F(x)=1-x^(-λ) x>1
0 x≤1
假设Y的分布函数为G(y),则
G(y)=P(Y≤y)=P(lnX≤y)=P (X≤e^y)=F(e^y)
当e^y>1时,即y>0时,有G(y)=1-e^(-λy),
当e^y≤1时,即y≤0时,有G(y)=0
所以Y的分布函数为
G(y)=1-e^(-λy) y>0
0 y≤0
从而Y的概率密度函数
f(y)=G'(y)=λe^(-λy) y≥0
0 y