已知:如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位

已知:如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位

题目
已知:如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的
2
7

(3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(4)试探究:当动点P在线段AB上移动时,能否在线段OA上找到一点Q,使四边形CQPD为矩形?并求出此时动点P的坐标.
答案
(1)设BC所在直线的解析式为y=kx+b,
因为直线BC过B(8,10),C(0,4)两点,可得:
8k+b=10
b=4

解得k=
3
4
,b=4,
因此BC所在直线的解析式是y=
3
4
x+4;
(2)过D作DE⊥OA,
则DE为梯形OABC的中位线,OC=4,AB=10,
则DE=7,又OA=8,得S梯形OABC=56,
则四边形OPDC的面积为16,S△COD=8,
∴S△POD=8,
1
2
•t×7=8,
得t=
16
7

(3)分三种情况
①0<t≤8,(P在OA上)
S三角形OPD=
7
2
t
②8<t≤18,(P在AB上)
S三角形OPD=S梯形OCBA-S三角形OCD-S三角形OAP-S角形PBD
=56-8-4(t-8)-2(18-t)=44-2t
(此时AP=t-8,BP=18-t)
③过D点作DM垂直y轴与M点
∴CM=3,DM=4,CD=5,
∴∠BCH的正弦值为
4
5

CP长为28-t
∴PH=22.4-0.8t
S三角形OPD=S三角形OPC-S三角形ODC
=
1
2
×4(22.4-0.8t)-8
=
184
5
-
8
5
t;
(4)不能.理由如下:作CM⊥AB交AB于M,
则CM=OA=8,AM=OC=4,
∴MB=6.
∴在Rt△BCM中,BC=10,
∴CD=5,
若四边形CQPD为矩形,则PQ=CD=5,
且PQ∥CD,
∴Rt△PAQ∽Rt△BDP,
设BP=x,则PA=10-x,
x
5
5
10−x

化简得x2-10x+25=0,x=5,即PB=5,
∴PB=BD,这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形.
(1)可根据点B,C的坐标,用待定系数法来求出直线BC的解析式;
(2)可先计算出梯形面积的
2
7
,也就求出了四边形COPD的面积.有OC的长,D是BC的中点,如果过D作梯形的中位线,可求出三角形OCD中,OC边上的高应该是4,由此可求出三角形OCD的面积,也就能表示出OPD的面积,然后再用OP的值表示出三角形OPD的面积,得出关于t的方程,即可求出此时t的值;
(3)本题要分三种情况进行讨论:
①当P在OA上时,即0<t<8时,如果过D作OA的垂线DE,垂直为E,那么DE就是梯形的中位线,即DE=7,要表示三角形OPD的面积,还需知道OP的长,可以根据P点的速度,用时间t表示出OP,这样可根据三角形的面积公式求出关于S,t的函数关系式.

②当P在AB上时,即8≤t<18时,三角形OPD的面积可以用四边形OAPD的面积-三角形OAP的面积来表示,而四边形OAPD的面积可分成梯形DEAP和三角形OED两部分来求,而OE,AE,DE,AB都是定值,因此可求出四边形OAPD的面积,三角形OAP中,可用t表示出AP的长,进而可用t表示出三角形OAP的面积,然后根据三角形OPD的面积S=四边形OAPD的面积-三角形OAP的面积,即可得出关于S,t的函数关系式;
③当P在BD上时,即18<t<23时,三角形OPD的面积可用三角形OCP的面积-三角形OCD的面积来求,三角形OPC中,可过P作OC的垂线PH,可根据AB∥OC,得出∠BCH的正弦值,然后用t表示出CP,那么在直角三角形OPH中可以求出OC边上的高PH的表达式,那么就能表示出三角形OPC的面积,三角形OCD中,OC的值已知,而OC边上的高就是OE,那么也可求出三角形OCD的面积,然后可根据三角形OPD的面积=三角形OPC的面积-三角形OCD的面积来求出关于S,t的函数关系式;

(4)先假设存在这样的点P,那么四边形CQPD是矩形,可得出CD=QP=BD=5,∠QPD=∠PDC=90°,要求此时t的值,首先就要求出AP的长,根据∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°,不难得出三角形AQP与三角形DPB相似,那么可得出关于BD,BP,AP,QP的比例关系,而BD,QP的长已求出,AP+PB=AB=10,因此可求出此时AP,PB的长,然后判定一下此时四边形QPDC是矩形的结论是否成立,如果成立可根据AP的长求出t的长.

一次函数综合题;矩形的判定;直角梯形;相似三角形的判定与性质.

本题主要考查了梯形的性质,矩形的判定,相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用,要注意的是(3)中,要根据P点的不同位置进行分类求解.

举一反三
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