已知三角形ABC,三边a、b、c,角C=60°,c=2,sinC+sin(B-C)=2sin2A 求三角形ABC的面积

题目

已知三角形ABC,三边a、b、c,角C=60°,c=2,sinC+sin(B-C)=2sin2A 求三角形ABC的面积

答案

∵SinC+Sin（B-A）=2Sin2A
2sinBcosA=4sinAcosA
sinB=2sinA
b=2a
c²=a²+b²-2abcosC
a=2/√3
b=4/√3
∴S△ABC=1/2absinC
=1/2×8/3×√3/2
=2√3/3
参考:
已知C=60°,则A+B=120°.得B-A=120°-2A,将其与C=60°一并代入原式：
sin60°+sin(120°-2A)=2sin2A
→sin60°+sin120°cos2A-cos120°sin2A=2sin2A
→√3/2+√3/2cos2A-(-1/2)sin2A=2sin2A
→√3/2+√3/2cos2A=3/2sin2A
→1+cos2A=√3sin2A
→1+cos2A=√3·√(1-cos²2A)
两边平方后解得：cos2A=1/2,或cos2A=-1
即得：A=30°,或A=90°.
相应有：B=90°或B=30°.
故ABC为直角三角形,其60°角对边长为2,则其30°角对边长为2/√3.
得：S△ABC=½×2×2/√3=2√3/3.