为什么相似矩阵秩和行列式都相等?

题目

为什么相似矩阵秩和行列式都相等?

答案

相似矩阵行列式相等：([]表示行列式,m为特征值)
P^-1*A*P=B
[mE-B]=[mE-P^-1*A*P]=[m*p^-1*p-P^-1*A*P]=[P^-1*(mE-A)*P]=[mE-A]
所以行列式相等,同时特征值相等
相似矩阵秩相等：
(1) 如果A没有0特征值,则R(A)=A的阶数.因为B只有主对角线上元素可能不为
0,并且主对角线上元素为A的特征值,所以也不含零元素,
所以R(B)=A的阶数=R(A)
(2) 如果A有0特征值,R(A)=R(B)=A的阶数-特征值0的个数