已知sinθ=αsinφ,tanθ=btanφ,其中θ为锐角,求证：cos=根号内 a的平方减1除以b的平方减一

题目

已知sinθ=αsinφ,tanθ=btanφ,其中θ为锐角,求证：cos=根号内 a的平方减1除以b的平方减一

答案

tan²θ＝b²·tan²φ＝b²·Sin²φ／Cos²φ＝b²·Sin²φ／（1-Sin²φ）①
∵Sinθ=aSinφ
∴Sin²φ=Sin²θ／a²②
将②代入①中并化简得：
tan²θ＝b²·Sin²θ／(a²-Sin²θ)
∵tan²θ=Sin²θ／Cos²θ
∴Sin²θ／Cos²θ＝b²·Sin²θ／(a²-Sin²θ)
∴1/Cos²θ=b²/(a²-Sin²θ)
1/Cos²θ=b²/(a²＋1-Sin²θ-1)
1/Cos²θ=b²/(Cos²θ＋a²－1）
化简得：Cosθ＝√[（a²－1）／（b²－1）]