将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项．

题目

将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项．

答案

由105=3×5×7，
由容斥原理，每连续105个数中，
有105-（

105

3

+

105

5

+

105

7

）+

105

3×5

+

105

5×7

+

105

3×7

−

105

3×5×7

=105×（1-

1

3

）（1-

1

5

）（1-

1

7

）=48，
故不超过105而与105互质的正整数有48个．
1000=48×20+48-8，
105×20=2100．
自105向前倒数，第9个与105互素的数是86，
∴在不超过105的与105互质的数中第40个数是86．
∴所求数为2100+86=2186．
故这个数列的第1000项是2186．