在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1垂直平面A1BD,D哦AC中点,(1)求证:B1C平行于平面A1BD (2）BIC1垂直于平

题目

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1垂直平面A1BD,D哦AC中点,(1)求证:B1C平行于平面A1BD (2）BIC1垂直于平
ABB1A1 （3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD垂直平面BDE,并说明理由

答案

1.连接AB1,与A1B交于点E,易知点E是AB1的中点,
从而DE是ΔACB1的中位线,
从而DE‖CB1,
又因为直线DE是平面A1BD内的一条直线.
所以CB1‖平面A1BD
证完.
2.因为AC1⊥面A1BD
所以,AC1⊥A1D
从而,∠A1DA+∠CAC1=90°
再由∠AC1C+∠CAC1=90°
便得∠A1DA=∠AC1C
从而ΔA1AD∽ΔACC1
从而A1A/AD=AC/CC1
即A1A•CC1=AD•AC
因为CC1=AA1,AD=AC/2
所以有
A1A²= AC²/2
即,AC²=2A1A²
从而,AD²=（AC/2）²= AC²/4= A1A²/2
从而A1D²= A1A²+ AD²= A1A²+ A1A²/2=3A1A²/2 ①
又因为A1A⊥面ABC,
所以A1A⊥BD
因为AC1⊥面A1BD,
所以AC1⊥BD
所以,BD⊥面A1AC1,
又因为A1D⊂面A1AC1,
所以,BD⊥A1D
所以,BD²=A1B²-A1D²
因为AB=BB1=A1A
所以A1B²=AB²+ A1A²=2 A1A² ②
综合①,②便有
BD²=2 A1A²-3A1A²/2=A1A²/2=AD²
从而BD=AD
所以,∠ABC=90°（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理）
从而∠A1B1C1=90°
即B1C1⊥A1B1
又因为BB1⊥B1C1
所以,B1C1⊥面ABB1A1