已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,abs AB

题目

已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,abs AB
1,求实数a的取值范围
若线段AB的垂直平分线交X轴于点N，求三角形ABN的面积的最大值

答案

(Ⅰ)直线方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得
x2-2(a+p)x+a2=0
设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
∴｜AB｜= =
∵0＜｜AB｜≤2p,8p(p+2a)＞0,∴0＜ ≤2p,解得- ＜a≤-
(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令其坐标为(x0,y0),
由中点坐标公式有
∴｜QM｜= = p
又∵△MNQ为等腰直角三角形,
∴｜QN｜=｜QM｜= p
∴S△NAB= ｜AB｜•｜QN｜= p•｜AB｜≤ p•2p= p2
即△NAB面积的最大值为 p2.