如图,已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,过A作x轴的垂线,垂足为E

题目

如图,已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,过A作x轴的垂线,垂足为E
如图,已知过原点O的一条直线与函数y=log8x（以8为底X的对数）的图象交于A,B两点,过A作x轴的垂线,垂足为E,过B作y轴的垂线,交EA于点C,若点C恰好在函数y=log2x（以2为底x的对数）的图象上,试求A、B、C三点的坐标

答案

设过原点的直线是y=kx
设A(x1,kx1),B(x2,kx2),则C(x1,kx2)
A,B在y=log8(x)的图像上,C在y=log2(x)的图像上
∴ kx1=log8(x1) ①
kx2=log8(x2) ②
kx2=log2(x1)=log8(x1³) ③
∴ x2=x1³
②÷①
x2/x1=log8(x2)/log8(x1)=log8(x1³)/log8(x1)=3
∴ x1²=3
∴ x1=√3（舍负）
∴ x2=3√3
∴ A(√3,log8(√3) )
B(3√3,log8(3√3) )
C(√3,log2(√3) )