在椭圆x²/7+y²/4=1上求一点M使点M到直线x+2y-10=10的距离最小,并求出最小距离

题目

在椭圆x²/7+y²/4=1上求一点M使点M到直线x+2y-10=10的距离最小,并求出最小距离

答案

椭圆x²/7+y²/4=1
参数方程为
｛x=√7cosα,y=2sinα ,α∈[0,2π)
设M(√7cosα,2sinα)为椭圆上任意一点
那么M到直线x+2y-10=0的距离
d=|√7cosα+4sinα-10|/√5
=|√23(√7/√23cosα+4/√23sinα)-10|/√5
令4/√23=cosφ,√7/√23=sinφ ,φ∈（0,π/2)
∴d=|√23sin(α+φ)-10|/√5
∴当sin(α+φ)=1时,d取得最小值|√23-10|/√5
此时α+φ=π/2,α=π/2-φ
∴x=√7cosα=√7*sinφ=7√23/23
y=2sinα=2cosφ=8√23/23
即距离最小时M(7√23/23,8√23/23)
最小距离为(10√5-√115)/5